正方形斜边生出正方形

设第一个正方形边长为 $x$ ，则：

$$x^2 = 5$$

根据题中描述，第 $1$ 个正方形的对角线长度等于第 $2$ 个正方形的边长，

故根据勾股定理可得第 $2$ 个正方形面积为：

$$(\sqrt{x^2+x^2})^2 = 2x^2 = 10$$

同理可得第 $3$ 个正方形面积为第 $2$ 个正方形面积的 $2$ 倍，即

$$2 \times 2x^2 = 4x^2 = 2^2 \times x^2$$

第4个正方形面积为第3个正方形面积的2倍，即

$$2 \times 4x^2 = 8x^2 = 2^3 \times x^2$$

……

归纳可得，第 $n$ 个正方形面积为

$$2^{n-1}x^2$$

因此，当 $n=6$ 时，即第 $6$ 个正方形的面积为

$$2^{6-1}x^2 = 2^5 \times 5 = 160$$

【补充】

以上是更泛化的考虑方式，若只求前几个正方形的面积， 并且已找到后一个正方形是前一个正方形面积的二倍这样的规律， 也可通过下面列表的方式简单获得其面积：