正方形斜边生出正方形

设第一个正方形边长为 $x$ ,则:

$$x^2 = 5$$

根据题中描述,第 $1$ 个正方形的对角线长度等于第 $2$ 个正方形的边长,

故根据勾股定理可得第 $2$ 个正方形面积为:

$$(\sqrt{x^2+x^2})^2 = 2x^2 = 10$$

同理可得第 $3$ 个正方形面积为第 $2$ 个正方形面积的 $2$ 倍,即

$$2 \times 2x^2 = 4x^2 = 2^2 \times x^2$$

第4个正方形面积为第3个正方形面积的2倍,即

$$2 \times 4x^2 = 8x^2 = 2^3 \times x^2$$

……

归纳可得,第 $n$ 个正方形面积为

$$2^{n-1}x^2$$

因此,当 $n=6$ 时,即第 $6$ 个正方形的面积为

$$2^{6-1}x^2 = 2^5 \times 5 = 160$$

【补充】

以上是更泛化的考虑方式,若只求前几个正方形的面积, 并且已找到后一个正方形是前一个正方形面积的二倍这样的规律, 也可通过下面列表的方式简单获得其面积:

第几个正方形面积
15
210
320
440
580
6160
Xin Li
Xin Li
讲师

主要研究方向为机器学习、深度学习与人工智能在各个领域的应用,特长为针对非均匀数据及偏移数据的优先采样及学习算法。了解更多

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